Anzahl Verwandte

19.09.2022

Wer sich mit der Ahnenforschung beschäftigt, hat sich evtl. schon einmal gefragt, wie viele Vorfahren es gibt oder mit wie vielen Menschen man verwandt ist. Geht man davon aus, dass jeder Mensch zwei leibliche Eltern hat (Inzwischen gibt es Kinder, die 3 genetische Eltern haben), so ist die Berechnung der direkten Vorfahren recht einfach. Jeder Mensch hat 2 Eltern, 4 Großeltern, 8 Urgroßeltern usw. Das heißt es gibt 2^n Ahnen in der n-ten Generation.

Karl der Große wurde um das Jahr 748 geboren - also vor 1274 Jahren. Geht man im Durchschnitt von einer Generationendauer von 30 Jahren aus, so sind das bis heute etwas mehr als 42 Generationen. Blickt man zurück in diese Zeit müsste jeder von uns 2^42 Ahnen haben - eine unvollstellbare große Zahl, die in die Billionen geht. In Mitteleuropa lebten zu dieser Zeit aber nicht mehr als 50 Millionen Menschen. Wie kann das sein?

Der Grund dafür ist der Ahnenverlust, zudem es kommt, wenn Verwandte miteinander Kinder haben. Die Nachkommen haben dann weniger Ahnen als die maximal mögliche Anzahl.

Berechnung Anzahl Verwandte

Bei unserer theoretischen Berechnung zur Anzahl aller Verwandten bis zu einer zurückliegenden Generation n gehen wir von idealisierten Vorstellungen aus: Zum einen ignorieren wir den Ahnenschwund, zum anderen gehen wir davon aus, dass jedes Elternpaar genau k Kinder zeugt. Wir betrachten das Beispiel mit k=2:

Generation 1: 2 Eltern (G1) + 2 Kinder (G0) = 4 Verwandte
Generation 2: 4 Großeltern (G2) + 4 Kinder (G1) + 6 Kinder (G0) = 14 Verwandte
Generation 3: 8 Urgroßeltern (G3) + 8 Kinder (G2) + 12 Kinder (G1) + 22 Kinder (G0) = 50 Verwandte
In der 10. Generation wären das dann 2^10 = 1024 Ahnen über die man insgesamt 700074 Verwandte hätte.

Die mathematische Formel

Ohne auf die Herleitung der Formel genauer einzugehen, ergibt sich für die Anzahl aller Verwandten bei n Generationen und k Kindern die folgende Summenformel: V(n,k) = Summe[i=0..n]2^n + Summe[i=1..n]2^(i-1)*((k^i)-1). Diese Summe kann auch über folgende Formel direkt berechnet werden: (2^n)-1+(k*(2*k)^n)+k-1)/2*k-1) = (k*((2*k)^n+2^(n+1)-1)-2^n)/((2*k)-1). Für verschiedene k bei laufendem n erhalten wir dann in diesem Beispiel für die Generationen 0 bis 10 folgende Zahlenreihen:

k=1: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047
k=2: 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11050, 43946, 175274, 700074
k=3: 1, 5, 25, 137, 793, 4697, 28057, 168089, 1008025, 6047129, 36280729
k=4: 1, 6, 40, 300, 2356, 18756, 149860, 1198500, 9587236, 76696356, 613567780
k=5: 1, 7, 59, 563, 5571, 55587, 555619, 5555683, 55555811, 555556067, 5555556579
k=6: 1, 8, 82, 950, 11326, 135758, 1628782, 19544750, 234535726, 2814426158, 33773108782
k=7: 1, 9, 109, 1485, 20701, 289629, 4054429, 56761245, 794655901, 11125179549, 155752507549

Das Programm dazu in Python

for k in (1,2,3,4,5,6,7):
  l=[];
  for n in (0,1,2,3,4,5,6,7):
    v = ( ( k*( ((2*k)**n) + (2**(n+1)) - 1) ) - (2**n) ) / ( (2*k) - 1)
    l.append(int(v))
  print(l)
        

Tags: Ahnengalerie, Stammbaum, Verwandschaft, Verwandte, Blutsverwandte, Anzahl Verwandte

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