Anzahl Verwandte
19.09.2022
Wer sich mit der Ahnenforschung beschäftigt, hat sich evtl. schon einmal gefragt, wie viele Vorfahren es gibt oder mit wie vielen Menschen man verwandt ist. Geht man davon aus, dass jeder Mensch zwei leibliche Eltern hat (inzwischen gibt es Kinder, die 3 genetische Eltern haben, aber dieser Fall wird nicht betrachtet), so ist die Berechnung der direkten Vorfahren recht einfach. Jeder Mensch hat 2 Eltern, 4 Großeltern, 8 Urgroßeltern usw. Das heißt es gibt 2^n Ahnen in der n-ten Generation.
Karl der Große wurde um das Jahr 748 geboren - also vor 1274 Jahren. Geht man im Durchschnitt von einer Generationendauer von 30 Jahren aus, so sind das bis heute etwas mehr als 42 Generationen. Blickt man zurück in diese Zeit müsste jeder von uns 2^42 Ahnen haben - eine unvollstellbare große Zahl, die in die Billionen geht. In Mitteleuropa lebten zu dieser Zeit aber nicht mehr als 50 Millionen Menschen. Wie kann das sein?
Der Grund dafür ist der Ahnenverlust bzw. Ahnenschwund zudem es kommt, wenn Verwandte miteinander Kinder haben. Die Nachkommen haben dann weniger Ahnen als die maximal mögliche Anzahl.
Berechnung der Anzahl der genetisch verwandten Personen
Bei unserer theoretischen Berechnung zur Anzahl aller genetisch verwandten Personen bis zu einer zurückliegenden Generation n gehen wir von idealisierten Vorstellungen aus: Zum einen ignorieren wir den Ahnenschwund, zum anderen gehen wir davon aus, dass jedes Elternpaar genau k Kinder zeugt.
Wir betrachten das Beispiel mit k=2
Generation 1: 2 Eltern (G1) + 2 Kinder (G0) = 4 Verwandte
Generation 2: 4 Großeltern (G2) + 4 Kinder (G1) + 6 Kinder (G0) = 14 Verwandte
Generation 3: 8 Urgroßeltern (G3) + 8 Kinder (G2) + 12 Kinder (G1) + 22 Kinder (G0) = 50 Verwandte
In der 10. Generation sind das also 2^10 = 1024 Ahnen, über die man dann mit 700074 Personen genetisch
verwandt wäre.
Ein weiteres Beispiel mit k=3
In schwarz sind die Person selbst sowie die direkten Vorfahren dargestellt, in rot die Personen mit denen
man ebenfalls genetisch verwandt ist. Hat jedes Paar 3 Kinder, so kommen neben den direkten Vorfahren noch
2 Geschwister, 4 Onkel bzw. Tanten und 12 Cousins bzw. Cousinen hinzu. In dieser Ahnentafel sind also
insgesamt 25 genetisch verwandte Personen dargestellt bei einer Generationentiefe von n=2.
Die mathematische Formel
Ohne auf die Herleitung der Formel genauer einzugehen, ergibt sich für die Anzahl aller Verwandten bei n
Generationen und k Kindern (k >= 2) die folgende Summenformel:
V(n,k) = Summe[i=0..n]2^n + Summe[i=1..n]2^(i-1)*((k^i)-1)
Die Anzahl aller Verwandten kann auch über folgende Formel direkt berechnet werden:
V(n,k) = 2^n+(k*(2*k)^n-k)/(2*k-1)
Zahlenfolgen
Für verschiedene Anzahlen von Kindern k ergeben sich dann für die Generationen 0 bis 10 diese Zahlenfolgen:
k=1: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047 (Die Person selbst plus die Anzahl direkter Vorfahren)
k=2: 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11050, 43946, 175274, 700074
k=3: 1, 5, 25, 137, 793, 4697, 28057, 168089, 1008025, 6047129, 36280729
k=4: 1, 6, 40, 300, 2356, 18756, 149860, 1198500, 9587236, 76696356, 613567780
k=5: 1, 7, 59, 563, 5571, 55587, 555619, 5555683, 55555811, 555556067, 5555556579
k=6: 1, 8, 82, 950, 11326, 135758, 1628782, 19544750, 234535726, 2814426158, 33773108782
k=7: 1, 9, 109, 1485, 20701, 289629, 4054429, 56761245, 794655901, 11125179549, 155752507549
Konkrete Formeln
k=1: a(n) = 2^n + 1*( 2^n - 1)/ 1
k=2: a(n) = 2^n + 2*( 4^n - 1)/ 3
k=3: a(n) = 2^n + 3*( 6^n - 1)/ 5
k=4: a(n) = 2^n + 4*( 8^n - 1)/ 7
k=5: a(n) = 2^n + 5*(10^n - 1)/ 9
k=6: a(n) = 2^n + 6*(12^n - 1)/11
k=7: a(n) = 2^n + 7*(14^n - 1)/13
Python-Programm um die Zahlenfolgen zu erstellen
for k in range(1,8):
l=[];
for n in range(0,11):
v = 2**n+(k*(2*k)**n-k)//(2*k-1)
l.append(int(v))
print(l)
Interessant
Betrachtet man den Fall k=5 abzüglich der Anzahl der Ahnen der n-ten Generation (n >= 1), dann erhält man die Zahlenreihe 5, 55, 555, 5555, 55555, 555555, 5555555, 55555555, 555555555, 5555555555, ...
Verweise
k=1: OEIS Serie A000225
k=2: OEIS Serie A076024
k=3: OEIS Serie A358504
k=4: OEIS Serie A358598
k=5: OEIS Serie A358599
k=6: OEIS Serie A358600
k=7: OEIS Serie A358601
Siehe auch
OEIS Serie A000079
OEIS Serie A002279